Max Arwed Rossbach wurde am 24. November 1844 als Sohn des Architekten, Brandversicherungs- und Bauinspektor Ernst Otto Rossbach und seiner Frau Wilhelmine in Plauen geboren, wo er gemeinsam mit vier Geschwistern aufwuchs.
Durch die Tätigkeit seines Vaters als Architekt waren ihm baukünstlerische Ideen schon früh vertraut. Er besuchte das Gymnasium und absolvierte im Anschluss eine halbjährige praktische Ausbildung im Bauhandwerk. Von 1862-1866 studierte er an der Dresdner Kunstakademie bei Herrmann Nicolai, dem Nachfolger Gottfried Sempers, Architektur. Im Anschluss folgte eine zweijährige Tätigkeit in, Berlin unter dem Preußischen Oberbaurat Karl Ferdinand Langhans.
Seit 1868 lebte Max Arwed Rossbach in Leipzig, heiratete 1870 Helene Adelheid Antonie Albrecht aus Dresden, in dieser Ehe wurden vier Kinder geboren. Seine Ehefrau verstarb im Jahr 1887. In zweiter Ehe war er mit Therese geb. Sembritzki verheiratet. Rossbach war Mitinhaber zweier Baufirmen in Leipzig, die Firma „Bauer & Rossbach“ führte ernach dem Tod seines Partners 1880 als Inhaber selbst weiter. Seine Projektierungsbüros und Ateliers unterhielt er im Lauf der Jahre an verschiedenen Standorten in der Stadt. Bis 1880 erwarb er sich durch den Bau verschiedener Villen, Wohn- u. Geschäftshäuser in Leipzig einen Namen. Einige dieser Gebäude wurden leider im 2. Weltkrieg zerstört bzw. danach dem Verfall oder Abriss Preis gegeben. Die Bauwerke zeugen von der Vielseitigkeit im Schaffen des Architekten, die erhaltenen überzeugen auch in der heutigen Nutzung durch ihre Zweckmäßigkeit.
In den Jahren 1875/76 und von 1886 bis 1891 war Arwed Rossbach Stadtverordneter in Leipzig. Seit 1892 wirkte er ehrenamtlich im Stadtrat. Dabei engagierte er sich vehement für Angelegenheiten zum Wohl der Leipziger Bürger und auch der Kinder. Mehr als 10 Jahre wirkte Arwed Rossbach für die Universität Leipzig als Architekt und Baumeister. Es begann mit seiner Teilnahme am Architektenwettbewerb 1887 für die Universitätsbibliothek und wurde mit dem Umbau der Pauliner Kirche 1899 vollendet. Nach der Vollendung der „Bibliotheca Albertina“ 1891 wurde Rossbach zum Königlich Sächsischen Baurat ernannt. Nach Beendigung des Umbaus der Universitätsbauten 1897 verlieh ihm die philosophischen Fakultät zum Dank den Doctor honoris causa.
Neben seiner beruflichen Tätigkeit engagierte sich Arwed Rossbach für soziale und kulturelle Belange. So für den Leipziger Architektenverein und den Leipziger Kunstverein. Arwed Rossbach verstarb am 31. Dezember 1902 in Leipzig. Die zahlreichen Traueranzeigen in den Leipziger Zeitungen zeugen von seiner Popularität und Ausstrahlungskraft. Unter großer Anteilnahme der Öffentlichkeit fand die Trauerfeier in der Pauliner Kirche statt, anschließend wurde er auf dem Neuen Johannisfriedhof beigesetzt.